1957 yılında Mardin, Midyat'ta doğdu.
İlk, orta ve lise öğrenimini Midyat'ta tamamlayan Şahin Üniversite eğitimini İstanbul Teknik Üniversitesi Mimarlık Mühendislik Fakültesi, İnşaat Mühendisliği Bölümü'nde başarıyla tamamladı.
Üniversiteki öğrencilik yıllarında çeşitli öğrenci derneklerinin yönetiminde görev aldı ve Türkiye Genç İş Adamları Derneği (TÜGİAD) üyeliğinde bulundu.
1983 yılında iş hayatına başlayan Veysi Şahin, inşaat sektörönde çeşitli üst düzey görevlerde bulundu.
1999 yılında yapılan Milletvekeli genel seçimlerinde, 21.Dönem Mardin Milletvekili olarak Meclise girdi. T.B.M.M.'de Plan ve Bütçe Komisyon'u üyeliği ve Bayındırlık, İmar, Ulaştırma ve Turizm komisyon üyesi olarak görev üstlendi.
İyi derecede Arapça, orta düzeyde İngilizce bilen Şahin, evli ve iki çocuk babasıdır.