Mehmet Zeybek, 1954 yılında Afyonkarahisar'da dünyaya geldi. İlköğrenimini merkez Çayırbağ beldesinde bitirdi. 1967 yılında girdiği Afyon İmam Hatip Lisesi'nden 1973 yılında mezun oldu. Üniversiteye girişte meslek liselerinin problemlerinden dolayı 1975 yılında fark derslerini verip Afyon Lisesi'ni tamamladı. 1976 yılında girdiği üniversite sınavında Erzurum Atatürk Üniversitesi İslami İlimler Fakültesi'ni kazandı. 1981 yılında üniversiteden mezun oldu.
Atamaların yasak olduğu bu dönemde Gölcük Deniz Kuvvetleri'nde yedek subay olarak askerliğini yaptı.
Lise döneminden beri inşaat işiyle uğraşan Mehmet Zeybek, gerek lise, gerekse üniversite hayatında Milli Türk Talebe Birliği üyesi olarak çalıştı.
Siyasi hayatına Refah Partisi il yönetim kurulu üyesi olarak başladı. Sırasıyla Fazilet Partisi'nde kurucu il yönetim kurulu üyeliği, 1999 yerel seçimlerinde il başkanlığı görevinde yer aldı. Sonrasında AK Parti il kurucu üyeliği, siyasi ve hukuki işlerden sorumlu il başkan yardımcılığı, il teşkilat başkanı olarak görev yaptı. 2009 tarihinde yapılan il kongresinde il başkanı oldu ve 6 yıl bu görevi sürdürdü. 24 Haziran 2018 Genel Seçimleri'nde Afyonkarahisar AK Parti Milletvekili adayı oldu. Mehmet Zeybek, evli ve 3 çocuk babasıdır.