Aziz Yıldırım, 2 Kazım 1952'de Diyarbakır'da doğdu. İlkokul ve lise tahsilini Düzce'de tamamladı.
Kavaklı bir süre Hamidiyespor Kulübü'nde futbol oynadı.
Futbolculuk sonrasında Ankara Devlet Mühendislik Mimarlık Akademisi'ni (Gazi Üniversitesi Mühendislik Fakültesi) bitirdi. NATO Altyapı ihalelerine de katılan Maktaş Mühendislik firmasının sahibidir.
Yıldırım, 15 Şubat 1998'de yapılan kongrede rakibi Vefa Küçük'ten bir oy fazla alarak başkan seçildi. Bu seçimlerden itibaren, aralıksız Fenerbahçe Spor Kulübü'nün başkanlığını yapmaktadır.
Aziz Yıldırım, şike davası kapsamında 3 Temmuz 2011'de "Ekonomik çıkar amaçlı suç örgütü kurmak ve yönetmek" ve "Şike yapmak" iddiasıyla gözaltına alınmıştı. Sonrasında savcılık tarafından ifadesi alınan Yıldırım, tutuklama talebiyle mahkemeye sevk edildi ve çıkarıldığı mahkemece tutuklandı. Yaklaşık 1 sene Metris Cezaevinde tutuklu kaldı. Şike davasında 23. duruşma sonunda hüküm giymesine rağmen tutuklu kaldığı süre göz önüne alınarak tahliye edildi.
Üç çocuk babası Aziz Yıldırım halen Fenerbahçe Spor Kulübü'nün başkanlığını yapmaktadır.