2 Mayıs 1913'de İstanbul'da doğdu. Ailesinin üçüncü çocuğudur. Babasının görevi sebebiyle farklı şehirlerde ve İran'da bulunmak zorunda kaldı.
İlköğrenimini İstanbul'da ortaöğrenimini ise Ankara'da tamamladı. Liseyi bitirince dönemin Milli Eğitim Bakanı Reşit Galip Bey, Sayılı ile başarılarından dolayı özel olarak ilgilendi ve onun bilim tarihi ile ilgilenmesi için yardımcı oldu.
Sayılı aynı sene içerisinde Milli Eğitim Bakanlığı'nın açmış olduğu yurt dışına öğrenci gönderme sınavında dereceye girdi ve Harvard Üniversitesi'nde Bilim Tarihi okumaya hak kazandı.
Başarılarını burada da devam ettiren Sayılı 1942 senesinde Harvard Üniversitesi'nden doktora derecesi aldı. Almış olduğu bu doktora Dünyada Bilim Tarihi konusunda alınan ilk doktora derecesidir.
1943'te doktorasını aldıktan sonra Türkiye'ye geri döndü. Ankara Üniversitesi Dil ve Tarih Coğrafya Fakültesi'nde, Felsefe bölümünde göreve başladı.
1946 senesinde Felsefe bölümünde, Bilim Tarihi Doçenti olarak atandı. 1952'de aynı bölümde Bilim Tarihi Profesörü olma başarısı gösterdi.
1958'de Ordinaryüs Profesör unvanını aldı. 1974'te Felsefe Bölümü Başkanlığı'na seçildi ve emekli oluncaya kadar bu vazifesini başarılı bir şekilde sürdürdü.
13 Ekim 1993 tarihinde Ankara'da hayatını kaybetti.
